🔰四元數旋轉

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若定義 ρ:H→H\rho: \mathbb{H} \to \mathbb{H} 為

  • ρa(p)=apa−1\rho_{{\color{red}a}}( \mathbf{p} ) = \mathbf{{\color{red}a}} \mathbf{p} \mathbf{{\color{red}a}}^{-1}

其中 a≠0,a∈H\mathbf{a} \neq 0 , \mathbf{a} \in \mathbb{H}，則 ρ\rho 可視為「R³ 中的旋轉」。

  1. ρ(p+q)=ρ(p)+ρ(q)\rho(\mathbf{p+q}) = \rho(\mathbf{p}) + \rho(\mathbf{q})

  2. ρ(kp)=k ρ(p)\rho({\color{orange}k} \mathbf{p}) = {\color{orange}k} \ \rho(\mathbf{p}) ( k∈R{\color{orange}k} \in \mathbb{R} )

  • 🎖 證明： 👉

  • 由以上兩點可知： ρ\rho 是一個「線性變換」。

  1. ρ(p)‾=ρ(p‾)\overline{\rho(\mathbf{p})} = \rho(\mathbf{\overline{p}}) ⭐️

  2. ρ(p)\rho(\mathbf{p}) is "pure" scalar/vector   ⟺  \iffp\mathbf{p} is "pure" scalar/vector

  3. ρ(k)=k\rho({\color{orange}{k}}) = {\color{orange}{k}} ( k∈R{\color{orange}k} \in \mathbb{R} )

  4. ρ(s+u)=s+ρ(u)\rho({\color{orange}s}+\mathbf{u}) = {\color{orange}s} + \rho(\mathbf{u})，其中 ρ(u)\rho(\mathbf{u}) 為純向量。

  • 🎖 證明： 👉

  • 從 (4)(5)(6) 知： ρ\rho 不會改變純量的部分，只有對向量部分造成影響。

  1. ρ(uv)=ρ(u)ρ(v)\rho(\mathbf{uv}) = \rho(\mathbf{u}) \rho(\mathbf{v})

  2. (1) ρ(u⋅v)=u⋅v=ρ(u)⋅ρ(v)\rho(\mathbf{u \cdot v}) = \mathbf{u \cdot v}= \rho(\mathbf{u}) \cdot \rho(\mathbf{v}) (2) ρ(u×v)=ρ(u)×ρ(v)\rho(\mathbf{u \times v}) = \rho(\mathbf{u}) \times \rho(\mathbf{v}) (3) ρ(a)=aaa−1=a\rho( \mathbf{a} ) = \mathbf{{\color{red}a}} \mathbf{a} \mathbf{{\color{red}a}}^{-1} = \mathbf{{\color{red}a}}

  • 🎖 證明： 👉

  • 從 8. (1) 知： ρ\rho 可以保內積，因此可以保長度與向量夾角。

  • 從 8. (2) 知： ρ\rho 可以保外積，因此可以保方向性 (handedness)。

  • 從 8. (3) 知： ρ\rho 不會改變 a\mathbf{a} 的方向。

  • ️️⭐️ 所以從以上三點，我們可以將 ρ\rho 看成「以 a\mathbf{a} 為軸的旋轉」。

事實上，上面三式中的純向量改為一般的四元數還是成立的：

  1. (1) ρ(pq)=ρ(p)ρ(q)\rho(\mathbf{p q}) = \rho(\mathbf{p}) \rho(\mathbf{q}) (2) ρ(p⋅q)=ρ(p)⋅ρ(q)\rho(\mathbf{p \cdot q}) = \rho(\mathbf{p}) \cdot \rho(\mathbf{q}) (3) ρ(p×q)=ρ(p)×ρ(q)\rho(\mathbf{p \times q}) = \rho(\mathbf{p}) \times \rho(\mathbf{q})

  • 🎖 證明： 👉

  1. ρka=ρa\rho_{{\color{orange}k}a} = \rho_{a}

  2. ρa∘ρb=ρab\rho_{a} \circ \rho_{b} = \rho_{ab}

  • 🎖 證明： 👉

  • ⭐️ 由 10. 知：改變 a\mathbf{a} 的倍數，並不會改變旋轉的結果。

  • ️️⭐️ 由 11. 知：兩個旋轉的合成，依然是一個旋轉，只是軸的方向改變而已。

  1. 若 a=cos⁡θ2+sin⁡θ2u\mathbf{a} = {\color{orange} \cos\frac{\theta}{2}} + {\color{orange} \sin\frac{\theta}{2}} \mathbf{u} ，其中 u\mathbf{u} 為單位向量，則： ρa(p)=apa−1\rho_{{\color{red}a}}( \mathbf{p} ) = \mathbf{{\color{red}a}} \mathbf{p} \mathbf{{\color{red}a}}^{-1} 為繞 u\mathbf{u} 旋轉 θ\theta 角的旋轉變換。

如果我們將「R³ 中的旋轉」擴充至四元數 ρ:H→H\rho: \mathbb{H} \to \mathbb{H}，並定義：

  • ρ(s+u)=s+ρ(u)\rho({\color{orange}s}+\mathbf{u}) = {\color{orange}s} + \rho(\mathbf{u})

則原來「旋轉變換的條件」可改寫為：

  • ρ(u⋅v)=ρ(u)⋅ρ(v)\rho(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \rho(\mathbf{u}) \cdot \rho(\mathbf{v})

  • ρ(u×v)=ρ(u)×ρ(v)\rho(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \rho(\mathbf{u}) \times \rho(\mathbf{v})

(註： u⋅v\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} 為純量，所以根據擴充定義 ρ(u⋅v)=u⋅v\rho(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v})

但從「四元數乘法性質」知：

  • uv=(u×v)−(u⋅v)\mathbf{u} \mathbf{v} = (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) -(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})

據此可推得：

因此我們可以將「旋轉變換的兩條件」可改為一個條件：

ρ(uv)=ρ(u)ρ(v)\rho(\mathbf{uv}) = \rho(\mathbf{u}) \rho(\mathbf{v})

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