🔰四元數旋轉

數系 ⟩ 四元數 ⟩ 運算 ⟩ 旋轉

若定義 $\rho: \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ 為

• $\rho_{{\color{red}a}}( \mathbf{p} ) = \mathbf{{\color{red}a}} \mathbf{p} \mathbf{{\color{red}a}}^{-1}$

其中 $\mathbf{a} \neq 0 , \mathbf{a} \in \mathbb{H}$，則 $\rho$ 可視為「R³ 中的旋轉」。

🔸 性質

1. $\rho(\mathbf{p+q}) = \rho(\mathbf{p}) + \rho(\mathbf{q})$

2. $\rho({\color{orange}k} \mathbf{p}) = {\color{orange}k} \ \rho(\mathbf{p})$ ( ${\color{orange}k} \in \mathbb{R}$ )

• 🎖 證明： 👉

• 由以上兩點可知： $\rho$ 是一個「線性變換」。

1. $\overline{\rho(\mathbf{p})} = \rho(\mathbf{\overline{p}})$ ⭐️

2. $\rho(\mathbf{p})$ is "pure" scalar/vector $\iff$$\mathbf{p}$ is "pure" scalar/vector

3. $\rho({\color{orange}{k}}) = {\color{orange}{k}}$ ( ${\color{orange}k} \in \mathbb{R}$ )

4. $\rho({\color{orange}s}+\mathbf{u}) = {\color{orange}s} + \rho(\mathbf{u})$，其中 $\rho(\mathbf{u})$ 為純向量。

• 🎖 證明： 👉

• 從 (4)(5)(6) 知： $\rho$ 不會改變純量的部分，只有對向量部分造成影響。

1. $\rho(\mathbf{uv}) = \rho(\mathbf{u}) \rho(\mathbf{v})$

2. (1) $\rho(\mathbf{u \cdot v}) = \mathbf{u \cdot v}= \rho(\mathbf{u}) \cdot \rho(\mathbf{v})$ (2) $\rho(\mathbf{u \times v}) = \rho(\mathbf{u}) \times \rho(\mathbf{v})$ (3) $\rho( \mathbf{a} ) = \mathbf{{\color{red}a}} \mathbf{a} \mathbf{{\color{red}a}}^{-1} = \mathbf{{\color{red}a}}$

• 🎖 證明： 👉

• 從 8. (1) 知： $\rho$ 可以保內積，因此可以保長度與向量夾角。

• 從 8. (2) 知： $\rho$ 可以保外積，因此可以保方向性 (handedness)。

• 從 8. (3) 知： $\rho$ 不會改變 $\mathbf{a}$ 的方向。

• ️️⭐️ 所以從以上三點，我們可以將 $\rho$ 看成「以 $\mathbf{a}$ 為軸的旋轉」。

事實上，上面三式中的純向量改為一般的四元數還是成立的：

1. (1) $\rho(\mathbf{p q}) = \rho(\mathbf{p}) \rho(\mathbf{q})$ (2) $\rho(\mathbf{p \cdot q}) = \rho(\mathbf{p}) \cdot \rho(\mathbf{q})$ (3) $\rho(\mathbf{p \times q}) = \rho(\mathbf{p}) \times \rho(\mathbf{q})$

• 🎖 證明： 👉

1. $\rho_{{\color{orange}k}a} = \rho_{a}$
2. $\rho_{a} \circ \rho_{b} = \rho_{ab}$

• 🎖 證明： 👉
• ⭐️ 由 10. 知：改變 $\mathbf{a}$ 的倍數，並不會改變旋轉的結果。
• ️️⭐️ 由 11. 知：兩個旋轉的合成，依然是一個旋轉，只是軸的方向改變而已。

1. 若 $\mathbf{a} = {\color{orange} \cos\frac{\theta}{2}} + {\color{orange} \sin\frac{\theta}{2}} \mathbf{u}$ ，其中 $\mathbf{u}$ 為單位向量，則： $\rho_{{\color{red}a}}( \mathbf{p} ) = \mathbf{{\color{red}a}} \mathbf{p} \mathbf{{\color{red}a}}^{-1}$ 為繞 $\mathbf{u}$ 旋轉 $\theta$ 角的旋轉變換。

• 🎖 證明： 👉 （先備： 繞軸旋轉矩陣）

⭐️ 重點

四元數乘法可以同時處理兩空間向量的內積與外積。

👥 相關

• 四元數 ⟩ 乘法、內積、外積

• R³ 中的旋轉

• 繞軸旋轉

📗 參考

• Math for 3D Game ⟩ 3.6.2 Rotations with Quaternions ⭐️

💾 程式

• replit ⟩ rotations with Quaternions (with unit tests)

如果我們將「R³ 中的旋轉」擴充至四元數 $\rho: \mathbb{H} \to \mathbb{H}$，並定義：

• $\rho({\color{orange}s}+\mathbf{u}) = {\color{orange}s} + \rho(\mathbf{u})$

則原來「旋轉變換的條件」可改寫為：

• $\rho(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \rho(\mathbf{u}) \cdot \rho(\mathbf{v})$
• $\rho(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = \rho(\mathbf{u}) \times \rho(\mathbf{v})$

(註： $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ 為純量，所以根據擴充定義 $\rho(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$)

但從「四元數乘法性質」知：

• $\mathbf{u} \mathbf{v} = (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) -(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$

據此可推得： \begin{align*} \rho(\mathbf{uv}) &= \rho(-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) + (\mathbf{u} \times \mathbf{v})) \\ &= -(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) + \rho(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \\ &= -\rho(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) + \rho(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \\ &= -\rho(\mathbf{u}) \cdot \rho(\mathbf{v}) + \rho(\mathbf{u}) \times \rho(\mathbf{v}) \\ &= \rho(\mathbf{u}) \rho(\mathbf{v}) \end{align*}

因此我們可以將「旋轉變換的兩條件」可改為一個條件：

$\rho(\mathbf{uv}) = \rho(\mathbf{u}) \rho(\mathbf{v})$