🔰外積

outer product

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 乘法 ⟩ 外積 (outer product)

⭐ 注意：

• 這裡的「外積」是指 "outer product"，又稱為「張量積」。

• "cross product" 中文也翻譯成「外積、叉積或向量積」，為了避免混淆，本文一律將 "cross product" 稱為「叉積」。

當行向量乘以列向量時，一定可以相乘，不會有維度不合的問題，此時這個乘積稱為 "outer product"：

• $\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots & a_{1}b_{n} \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m}b_{1} & a_{m}b_{2} & \cdots & a_{m}b_{n} \\ \end{bmatrix}$

⭐ 注意：

• 這種乘法類似九九乘法表。

• $m\times 1$ 矩陣乘以 $1\times n$ 矩陣會得到 $m\times n$ 矩陣。

• 當 $𝐮$ 與 $𝐯$ 都是「行向量」時，數學符號用 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T$ 來表示它們的 outer product。

🔴 主題

• 「分割式」乘法

📖 說明

🛠 工具

👥 相關

⬇️ 應用

📗 參考

💍 引理

若： $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ 是行向量或列向量，且可作矩陣乘法，

則： $(\mathbf{uv})^T = \mathbf{v}^T \mathbf{u}^T$

⭐ 註： $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ 是行向量或列向量，且可作矩陣乘法，只有兩種狀況：

• $\mathbf{u}$ 為列向量、$\mathbf{v}$ 為行向量 (兩者維度必須相同)，它們的乘積又稱為「內積」("inner product")。

• $\mathbf{u}$ 為行向量、$\mathbf{v}$ 為列向量 (兩者維度可以不同)，它們的乘積又稱為 "outer product"。

🎖 證明： 👉