⭐矩陣乘積為外積之和

🚧 under construction

線代 ⟩ 矩陣 ⟩ 運算 ⟩ 乘法 ⟩ 矩陣乘積為 outer products 之和

若： $\mathbf{A}$ 為 $m\times p$ 矩陣、 $\mathbf{B}$ 為 $p\times n$ 矩陣，則：

• $\mathbf{AB} = \mathbf{A}_{*\color{red}{1}} \mathbf{B}_{{\color{red}{1}}*} + \mathbf{A}_{*\color{red}{2}} \mathbf{B}_{{\color{red}{2}}*} + \cdots + \mathbf{A}_{*\color{red}{p}} \mathbf{B}_{{\color{red}{p}}*} = \sum_{k=1}^{p} \mathbf{A}_{*k} \mathbf{B}_{k*}$

⭐ 註解：

• 每個 $\mathbf{A}_{*k} \mathbf{B}_{k*}$ （$A$ 的第 $k$ 行乘以與 $B$ 的第 $k$ 列）都是一個 外積。

• 如果 外積 是一個表格，那麼矩陣乘法就是「一連串的表格進行疊加」。

• 由於矩陣加法沒有順序性，因此由此定理可得知：如果我們「分別將 $A$ 的行與 $B$ 的列做一致性的調動」，則得到的乘積依然一樣❗

🖼️ 圖解

例如： $\mathbf{A} =\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$、 $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$， $\mathbf{AB} =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$。

在下圖中，我們將 A, B 兩組相對應的行列相乘，可以得到兩個表格，再將這兩個表格疊加，就可以得到 AB 相乘的結果。

「表格疊加」法

會得到這樣的結果，並非巧合，我們用後面的「矩陣乘積為外積之和 」證明。

💍 引理

$( \mathbf{A}_{*\color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}}*} ) _{{\color{blue}{ij}}} = \mathbf{A}_{{\color{blue}{i}} \color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}} {\color{blue}{j}}}$

👉 矩陣符號

這個引理的意思是：「第 k 個表格」的第 $(i,j)$ 個元素就是 $\mathbf{A}_{{\color{blue}{i}} \color{red}{k}} \mathbf{B}_{{\color{red}{k}} {\color{blue}{j}}}$：

「第 k 個表格」的第 $(i,j)$ 個元素

A 的每一行與 B 相對應的每一列相乘，都可以得到「一個表格」，所以 A, B 各有多少行、列，就會得到多少表格，最後再疊加起來就可以了。

🎖 證明

⬇️ 應用

👥 相關

🛠 工具