孟氏線截西瓦線

孟氏線截過一條西瓦線與其兩側的邊，會形成三個分點比，這三個比有固定的關係。

定理

已知 $\Delta ABC$ ， $D$ 為 $\overleftrightarrow{BC}$ 邊上的點，一條孟氏線分別截 $\overleftrightarrow{AB}, \overleftrightarrow{AD}, \overleftrightarrow{AC}$ 於 $P,M,Q$ 三點。

若 $\dfrac{\overrightarrow{B\color{red}{D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}={\color{blue}\alpha}$ ，則從「分點比」的角度可得：

$\dfrac{\overrightarrow{D\color{red}{M}}}{\overrightarrow{{\color{red}M}A}}= \dfrac{ 1 }{ 1+{\color{blue}\alpha} } \left( \dfrac{\overrightarrow{B\color{red}{P}} }{\overrightarrow{{\color{red}P}A}} + {\color{blue}\alpha} \cdot\dfrac{\overrightarrow{C\color{red}{Q}}}{\overrightarrow{{\color{red}Q}A}} \right)$ $\cdots$ (💡分點公式 )

或者用「點刻度」的符號，可寫成：

$\dfrac{1}{[A{\color{red}M}D]}=\dfrac{ 1 }{ 1+{\color{blue}\alpha} } \left( \dfrac{1}{[A{\color{red}P}B]} + {\color{blue}\alpha} \cdot \dfrac{1}{[A{\color{red}Q}C]} \right)$

圖解

從「點刻度」所得的公式看來：如果 $B,D,C$ 是一個「等差點列」，則它們相對應的「點刻度」會形成「調和數列」❗

證明

本方法主要使用：「面積」與「向量比」之間的轉化。

假設：

$[A,{\color{red}P},B]=\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{P}}}{\overrightarrow{AB}}={\color{blue}p}$
$[A,{\color{red}M},D]=\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{M}}}{\overrightarrow{AD}}={\color{blue}m}$
$[A,{\color{red}Q},C]=\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{Q}}}{\overrightarrow{AC}}={\color{blue}q}$
$\Delta ABC={\color{blue}\Delta}$

從面積來觀察，我們可以得到： 1️⃣ $\Delta A{\color{red}P}{\color{red}Q}=\Delta A{\color{red}PM} + \Delta A{\color{red}MQ}$

下面我們打算將這三個三角形面積全部用 ${\color{blue}\Delta}$ 來表示，然後導出我們要的結果。

原式

推論

說明

$\dfrac{\Delta A{\color{red}P}{\color{red}Q}}{\Delta ABC}$

$=\dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}P}}\times\overrightarrow{A{\color{red}Q}} }{ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} }$

「三角形面積」定義

$=\dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}P}} }{ \overrightarrow{AB} } \cdot \dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}Q}} }{ \overrightarrow{AC} }$

「向量比」性質 4

$={\color{blue}p}{\color{blue}q}$

原假設條件

2️⃣ $\Delta A{\color{red}PQ}$

$={\color{blue}p}{\color{blue}q}\cdot {\color{blue}\Delta}$

${\Delta ABC}$ 移項

$\dfrac{\Delta A{\color{red}PM}}{\Delta ABC}$

$=\dfrac{\Delta A{\color{red}PM}}{{\color{blue}\Delta ABD}} \cdot \dfrac{{\color{blue}\Delta ABD}}{\Delta ABC}$

將 ${\color{blue}\Delta ABD}$ 當作是過度的媒介

$=\dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}P}}\times\overrightarrow{A{\color{red}M}} }{ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} } \cdot \dfrac{ \overrightarrow{BD} }{ \overrightarrow{BC} }$

「三角形面積」定義

「等高原理」

$=\dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}P}} }{ \overrightarrow{AB} } \cdot \dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}M}} }{ \overrightarrow{AD} } \cdot \dfrac{ \overrightarrow{BD} }{ \overrightarrow{BC} }$

「向量比」性質 4

$={\color{blue}pm}\left( \dfrac{{\color{blue}\alpha}}{1+{\color{blue}\alpha}} \right)$

「點刻度」性質 3

3️⃣ $\Delta A{\color{red}PM}$

$={\color{blue}pm}\left( \dfrac{{\color{blue}\alpha}}{1+{\color{blue}\alpha}} \right)\cdot {\color{blue}\Delta}$

${\Delta ABC}$ 移項

$\dfrac{\Delta A{\color{red}MQ}}{\Delta ABC}$

$=\dfrac{\Delta A{\color{red}MQ}}{{\color{blue}\Delta ADC}} \cdot \dfrac{{\color{blue}\Delta ADC}}{\Delta ABC}$

$=\dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}M}}\times\overrightarrow{A{\color{red}Q}} }{ \overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AC} } \cdot \dfrac{ \overrightarrow{DC} }{ \overrightarrow{BC} }$

「三角形面積」定義

「等高原理」

$=\dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}M}} }{ \overrightarrow{AD} } \cdot \dfrac{ \overrightarrow{A{\color{red}Q}} }{ \overrightarrow{AC} } \cdot \dfrac{ \overrightarrow{DC} }{ \overrightarrow{BC} }$

「向量比」性質 4

$={\color{blue}mq}\left( \dfrac{1}{1+{\color{blue}\alpha}} \right)$

4️⃣ $\Delta A{\color{red}MQ}$

$={\color{blue}mq}\left( \dfrac{1}{1+{\color{blue}\alpha}} \right) \cdot {\color{blue}\Delta}$

${\Delta ABC}$ 移項

現在將2️⃣3️⃣4️⃣代入 1️⃣ 可得：

${\color{blue}p}{\color{blue}q}\cdot {\color{blue}\Delta}= {\color{blue}pm}\left( \dfrac{{\color{blue}\alpha}}{1+{\color{blue}\alpha}} \right)\cdot {\color{blue}\Delta} + {\color{blue}mq}\left( \dfrac{1}{1+{\color{blue}\alpha}} \right) \cdot {\color{blue}\Delta}$

同除 ${\color{blue}pqm\Delta}$ 可得：

$\dfrac{1}{{\color{blue}m}} = \left( \dfrac{{\color{blue}\alpha}}{1+{\color{blue}\alpha}} \right) \cdot \dfrac{1}{{\color{blue}q}} + \left( \dfrac{1}{1+{\color{blue}\alpha}} \right) \cdot \dfrac{1}{{\color{blue}p}}$

得證 ▨

本方法主要使用：「孟氏定理」與「分點性質」。

已知：

$(B,{\color{red}D},C)=\dfrac{\overrightarrow{B\color{red}{D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}={\color{blue}\alpha}$

假設：

$(C,{\color{red}Q},A)=\dfrac{\overrightarrow{C\color{red}{Q}}}{\overrightarrow{{\color{red}Q}Q}}={\color{blue}\beta}$
$(A,{\color{red}P},B)=\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}B}}={\color{blue}\gamma}$

圖解

說明

由「孟氏定理」可知：

$\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}C}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{C{\color{red}Q}}}{\overrightarrow{{\color{red}Q}A}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}B}}={\color{red}-1}$

因此：

$\dfrac{\overrightarrow{B\color{red}{E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}C}}=-\dfrac{1}{\color{blue}\beta\gamma}$

根據「分點性質 4」，且已知： $(B,{\color{red}D},C)={\color{blue}\alpha}$ 、 $(B,{\color{red}E},C)=-\dfrac{1}{\color{blue}\beta\gamma}$ ，則：

原式

推論

說明

$(B,{\color{red}E},{\color{red}D})$

$=\dfrac{-\dfrac{1}{\color{blue}\beta\gamma}(1+{\color{blue}\alpha})}{{\color{blue}\alpha}-\left(-\dfrac{1}{\color{blue}\beta\gamma}\right)}$

將 ${\color{blue}\alpha}$ 、 $-\dfrac{1}{\color{blue}\beta\gamma}$ 代入

「分點性質 4」

$=-\dfrac{1+{\color{blue}\alpha}}{{\color{blue}\alpha\beta\gamma}+1}$

分子、分母同乘 ${\color{blue}\beta\gamma}$

圖解

說明

再根據「孟氏定理」知：

$\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}D}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{D{\color{red}M}}}{\overrightarrow{{\color{red}M}A}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}B}}={\color{red}-1}$ 即：

$-\dfrac{1+{\color{blue}\alpha}}{{\color{blue}\alpha\beta\gamma}+1} \cdot \dfrac{\overrightarrow{D{\color{red}M}}}{\overrightarrow{{\color{red}M}A}}\cdot {\color{blue}\gamma}=-1$

原式

推論

說明

$\dfrac{\overrightarrow{D{\color{red}M}}}{\overrightarrow{{\color{red}M}A}}$

$=\dfrac{ {\color{blue}\alpha\beta\gamma}+1 }{ {\color{blue}\gamma}(1+{\color{blue}\alpha}) }$

由上式推得

$=\dfrac{ {\color{blue}\alpha\beta}+\frac{1}{{\color{blue}\gamma}} }{ 1+{\color{blue}\alpha}}$

分子、分母同除 ${\color{blue}\gamma}$

$= \dfrac{ 1 }{ 1+{\color{blue}\alpha} } \left( \dfrac{\overrightarrow{B\color{red}{P}} }{\overrightarrow{{\color{red}P}A}} + {\color{blue}\alpha} \cdot\dfrac{\overrightarrow{C\color{red}{Q}}}{\overrightarrow{{\color{red}Q}A}} \right)$ ▨

由「分點性質 3」可得：

$(B,{\color{red}P},A)=\dfrac{\overrightarrow{B\color{red}{P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}=\dfrac{1}{\color{blue}\gamma}$

向量比

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