分點比

AB 直線上的每一個點，都對應著一個獨特的值，這個值稱為「分點比」。

定義

A, B 為平面上相異兩點， AB↔\overleftrightarrow{AB} 直線上的任一點 X\color{red}X 可稱為 ABundefined\overlinesegment{AB} 線段的「分點」，此時定義「分點比」 (A,X,B)(A,{\color{red}X},B) 為：

(A,X,B)={AX→XB→if X≠B,∞ point on AB↔−1if X=∞ point on AB↔undefinedif X=B(A,{\color{red}X},B) = \begin{cases} \dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{X}}}{\overrightarrow{{\color{red}X}B}} &\text{if } {\color{red}X}\ne B, \infty\text{ point on }\overleftrightarrow{AB} \\ -1 &\text{if } {\color{red}X}=\infty \text{ point on }\overleftrightarrow{AB} \\ \text{undefined} &\text{if } {\color{red}X}=B \end{cases}

圖解

💡 下圖的 X\color{red}X 點可以拖曳。

例外點

  • 上圖中，當 X=B{\color{red}X}=B時， XB→=0⃗\overrightarrow{{\color{red}X}B}=\vec{0} ，此時「向量比」無定義。由於在 BB 點兩側的「分點比」一邊朝向 +∞+\infty 一邊朝向 −∞-\infty ，所以在 BB 上似乎也沒辦法定義一個合理的分點比。

  • 另一個極端是，當 X{\color{red}X} 是AB↔\overleftrightarrow{AB} 直線上的「無窮遠點」時，此時雖然 AX→,XB→\overrightarrow{A\color{red}{X}}, \overrightarrow{{\color{red}X}B} 都不是正常的向量，因此「向量比」也不具任何計算意義，但「分點比」可定義為 −1-1 ，這樣的定義可讓後續的計算方便許多。

分點特性

  • 線上的每個分點 (除了 BB 點之外) 都對應到一個不同的「分點比」。

  • 分點又分為「內分點」與「外分點」。

  • A, B 之間的分點稱為「內分點」，分點比為「正值」。

  • A, B 之外的分點稱為「外分點」，分點比為「負值」。

  • A 點這一側的外分點，分點比介於 00 到 −1-1 之間。

  • B 點這一側的外分點，分點比介於 −1-1 到 −∞-\infty 之間。

分點性質

  1. 若 (A,X,B)=r(A,{\color{red}X},B) ={\color{blue}r}， (r≠−1)({\color{blue}r}\ne -1) ，則 X=A+rB1+r{\color{red}X}=\dfrac{A+{\color{blue}r}B}{1+{\color{blue}r}} 。

  2. 若 (A,X,B)=1(A,{\color{red}X},B) =1，則 X\color{red}X 為 A,BA,B 的「中點」。

  3. 設 A,X,BA,{\color{red}X},B 三點相異，則： (B,X,A)=1(A,X,B)(B,{\color{red}X},A) =\dfrac{1}{(A,{\color{red}X},B) }

  4. 若 A,B,X,YA,B,{\color{red}X}, {\color{blue}Y} 為共線相異四點，且 (A,X,B)=α(A,{\color{red}X},B)={\color{blue}\alpha}、 (A,Y,B)=β(A,{\color{#009900}Y},B)={\color{blue}\beta} ， 則： (A,Y,X)=β(1+α)α−β(A,{\color{#009900}Y},{\color{red}X})=\dfrac{{\color{blue}\beta}(1+{\color{blue}\alpha})}{{\color{blue}\alpha}-{\color{blue}\beta}}

證明

推論

說明

(A,X,B)=r(A,{\color{red}X},B) ={\color{blue}r}

原條件

AX→XB→=r\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{X}}}{\overrightarrow{{\color{red}X}B}} = {\color{blue}r}

分點比定義

AX→=rXB→\overrightarrow{A\color{red}{X}}={\color{blue}r}\overrightarrow{{\color{red}X}B}

向量比「性質 6」

X−A=r(B−X){\color{red}X}-A={\color{blue}r}(B-{\color{red}X})

向量減法

(1+r)X=A+rB(1+{\color{blue}r}){\color{red}X}=A+{\color{blue}r}B

向量運算

X=A+rB1+r{\color{red}X}=\dfrac{A+{\color{blue}r}B}{1+{\color{blue}r}} ▨

向量運算

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