西瓦點座標

計算「西瓦點」的座標。

👉 什麼是「西瓦點」❓

定理

$P$ 為三條西瓦線的交點，三條西瓦線分別交 $\overleftrightarrow{BC},\overleftrightarrow{CA},\overleftrightarrow{AB}$ 於 $D,E,F$ 三點。

假設：

$\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}=\alpha$ , $\dfrac{\overrightarrow{C{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}A}}=\beta$ , $\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}=\gamma$

則：

• $P=\left(\dfrac{1}{1+\frac{1}{\beta}+\gamma}\right)A + \left(\dfrac{1}{1+\frac{1}{\gamma}+\alpha}\right)B + \left(\dfrac{1}{1+\frac{1}{\alpha}+\beta}\right)C$

或寫成：

• $P= \dfrac{1}{1+(A,{\color{red}P},D)}A + \dfrac{1}{1+(B,{\color{red}P},E)}B + \dfrac{1}{1+(C,{\color{red}P},F)}C$

圖解

💡 下圖 $A,B,C,P$ 點可拖曳。

註解

• $\left(\dfrac{1}{1+\frac{1}{\beta}+\gamma}\right) + \left(\dfrac{1}{1+\frac{1}{\gamma}+\alpha}\right) + \left(\dfrac{1}{1+\frac{1}{\alpha}+\beta}\right) = 1$

證明

第一式

原式	推論	說明
$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}D}}$	$= \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}C}}+ \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}$	西瓦線分點比
	$=\dfrac{1}{\beta}+\gamma$	向量比「性質 7」
	$=\alpha\gamma+\gamma$	根據「西瓦定理」： $\alpha\beta\gamma=1$
	$=\gamma(\alpha+1)$
因此：
1️⃣ ${\color{red}P}$	$=\dfrac{A+{\color{blue}\gamma(\alpha+1)}D}{1+{\color{blue}\gamma(\alpha+1)}}$	分點「性質 1」
另外：
$\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}$	$=\alpha$	原條件
因此：
2️⃣ $D$	$=\dfrac{B+{\color{blue}\alpha}C}{1+{\color{blue}\alpha}}$	分點「性質 1」

代 2️⃣ 回 1️⃣ 可得：

原式	推論	說明
${\color{red}P}$	$=\dfrac{A+{\color{blue}\gamma(\cancel{\alpha+1})}\cdot \dfrac{B+{\color{blue}\alpha}C}{\cancel{1+{\color{blue}\alpha}}}}{1+{\color{blue}\gamma(\alpha+1)}}$
	$=\dfrac{ A+{\color{blue}\gamma}(B+{\color{blue}\alpha}C) }{ 1+{\color{blue}\gamma(\alpha+1)} }$
其中：
🔸 $A$ 的係數：	$=\dfrac{ 1 }{ 1+{\color{blue}\gamma(\alpha+1)} }$
	$=\dfrac{ 1 }{ 1+{\color{blue}\gamma\alpha+\gamma} }$
	$=\dfrac{ 1 }{ 1+{\color{blue}\frac{1}{\beta}+\gamma} }$ ▨	根據「西瓦定理」： $\alpha\beta\gamma=1$
🔸 $B$ 的係數：	$=\dfrac{ {\color{blue}\gamma} }{ 1+{\color{blue}\gamma\alpha+\gamma} }$
	$=\dfrac{ 1 }{ {\color{blue}\frac{1}{\gamma}+\alpha}+1 }$ ▨	同除 $\color{blue}\gamma$
🔸 $C$ 的係數：	$=\dfrac{ {\color{blue}\gamma\alpha} }{ 1+{\color{blue}\gamma\alpha+\gamma} }$
	$=\dfrac{1}{{\color{blue}\frac{1}{\gamma\alpha}}+1+{\color{blue}\frac{1}{\alpha}}}$	同除 $\color{blue}\gamma\alpha$
	$=\dfrac{1}{{\color{blue}\beta}+1+{\color{blue}\frac{1}{\alpha}}}$ ▨	$\alpha\beta\gamma=1$

第二式