西瓦線分點比

一條西瓦線上的分點比，與兩旁的分點比有固定的關係。

定理

$P$ 為三條西瓦線的交點，三條西瓦線分別交 $\overleftrightarrow{BC},\overleftrightarrow{CA},\overleftrightarrow{AB}$ 於 $D,E,F$ 三點，

則：$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}D}}= \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}C}}+ \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}$

圖解

💡 下圖 $A,B,C,P$ 點可拖曳。

註解

• $P$ 點可以是任意點(一般點)，但不在 $\Delta ABC$ 的三邊上。

• 也可以寫成「分點比」的形式： $(A,{\color{red}P},D)=(A,{\color{red}E},C)+(A,{\color{red}F},B)$

證明

圖示

說明

將「孟氏定理」用在 $\Delta ABD$ ，可得： $\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}C}}}{\overrightarrow{{\color{red}C}D}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}={\color{red}-1}$ 根據向量比「性質 7」，可得： $\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}C}}}{\overrightarrow{{\color{red}C}D}}=- \dfrac{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}$

左式	右式	說明
$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}C}}}{\overrightarrow{{\color{red}C}D}}$	$=- \dfrac{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}$	由上面推得
$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{{\color{red}C}D}}$	$=- \dfrac{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}$	向量加法
$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{\color{blue}DC}}{\overrightarrow{{\color{blue}DC}}}$	$=\dfrac{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}$	將「$-$」號給 $\overrightarrow{CD}$
$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \left(\dfrac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{{\color{blue}DC}}} + 1\right)$	$=\dfrac{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}$	向量比「性質 8」
1️⃣ $\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{{\color{blue}DC}}} + \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}$	$=\dfrac{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}$	實數乘法分配律

下面我們討論$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{{\color{blue}DC}}}$ 這個部分：

圖示

說明

將「西瓦定理」用在 $\Delta ABC$ ，可得： $\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{C{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}A}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}={\color{blue}1}$ 根據向量比「性質 7」，可得： $\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}= \dfrac{\overrightarrow{{\color{red}E}A}}{\overrightarrow{C{\color{red}E}}}$ 2️⃣

現在將 2️⃣ 式代回 1️⃣ 式：

$\dfrac{\overrightarrow{{\color{red}E}A}}{\overrightarrow{C{\color{red}E}}} + \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}= \dfrac{\overrightarrow{{\color{red}P}A}}{\overrightarrow{D{\color{red}P}}}$

將上式某些向量反向，就可以得到我們要的公式：

$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}P}}}{\overrightarrow{{\color{red}P}D}}= \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}C}}+ \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}$ ▨