孟氏定理

(Menelaus' theorem) 一條線穿過三角形的三邊、造成三個分點，這三個分點的「分點比」有一個奇妙的關係。

定理

如下圖，直線 $\overleftrightarrow{XY}$ 分別交 $\Delta ABC$ 三邊於 $D,E,F$ ，且 $\overleftrightarrow{XY}$ 不通過 $A,B,C$ 任何一個頂點，則：

$\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{C{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}A}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}={\color{red}-1} \;\;\cdots$ (向量比的形式)

或用「分點比」的符號，可寫成：

$(B,{\color{red}D},C)(C,{\color{red}E},A)(A,{\color{red}F},B)={\color{red}-1}\;\;\cdots$ (分點比的形式)

圖解

💡 下圖中的 $A,B,C,X,Y$ 點與直線 $\overleftrightarrow{XY}$ 可以直接拖曳。

註解

• 我們稱「不通過三頂點」的線為「孟氏線」。

• 當 $\overleftrightarrow{XY}$ 為「無窮遠線」時，此定理亦成立，此時 $D,E,F$ 各為三邊的「無窮遠點」。

• 由於三個「分點比」的乘積 $=\color{red}-1$，所以 $D,E,F$ 三個分點，必為「一個外分、兩個內分」或「三個都外分」。

• 這個定理常見的證明方式是利用「高」來證明 (例如：這篇)，優點是簡潔有力，但缺點是失去方向性，沒辦法從定理推論到底有幾個內分點、幾個外分點。

證明

直線 XY 為一般線

💡 以下的推論，我們假設 $\color{red}X,Y$ 都是一般點 (不是無窮遠點)。

原式	推論	說明
$\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}$	$=\dfrac{\Delta B{\color{red}XY}}{\Delta {\color{red}YX}C}$	同底原理
$\dfrac{\overrightarrow{C{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}A}}$	$=\dfrac{\Delta C{\color{red}XY}}{\Delta {\color{red}YX}A}$	同底原理
$\dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}$	$=\dfrac{\Delta A{\color{red}XY}}{\Delta {\color{red}YX}B}$	同底原理
三者相乘：
$\dfrac{\overset{-1}{\cancel{\color{blue}\Delta BXY}}}{\cancel{\color{red}\Delta YXC}} \cdot \dfrac{\overset{-1}{\cancel{\color{red}\Delta CXY}}}{\cancel{\Delta YXA}}\cdot \dfrac{\overset{-1}{\cancel{\Delta AXY}}}{\cancel{\color{blue}\Delta YXB}}$	$=-1$ ▨	實數約分

直線 XY 為無窮遠線

相關資料

👉 推論

• 👉 孟氏線截西瓦線

📗 參考