點刻度

一條線就像直尺，線上的每個點都有自己的「刻度」。

定義

若 ${\color{red}X}$為 $\overleftrightarrow{AB}$直線上一點 $(A\ne B)$ ，且 $\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{X}}}{\overrightarrow{AB}}={\color{blue}t} \in\mathbb{R}$ ，則稱：

• ${\color{blue}t}$ 為${\color{red}X}$ 以 $\overrightarrow{AB}$ 為單位的「刻度」，並用符號 $[A,{\color{red}X},B]$ 來代表它。

• 如果從上下文可以得知 $\overrightarrow{AB}$ 是誰，則我們會說 ${\color{blue}t}$ 是「${\color{red}X}$的刻度」

圖解

💡 下圖 $A,B,X$ 點可用滑鼠拖曳。圖中藍色數字就是 ${\color{red}X}$ 點的「刻度」。

註解

• $A,B,X$ 都是一般點，不是無窮遠點。

性質

1. $[A,{\color{red}X},B]={\color{blue}t}$$\iff{\color{red}X}=(1-{\color{blue}t})A+{\color{blue}t}B$

2. 「刻度」轉為「分點比」 若$[A,{\color{red}X},B]={\color{blue}t}, \; ({\color{blue}t}\ne1)$則：$(A,{\color{red}X},B)=\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{X}}}{\overrightarrow{{\color{red}X}B}}=\dfrac{{\color{blue}t}}{1-{\color{blue}t}}$

3. 「分點比」轉為「刻度」 若 $\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{X}}}{\overrightarrow{{\color{red}X}B}}={\color{blue}\alpha}\;({\color{blue}\alpha}\ne -1)$ ，則：${\color{red}X}$$=\dfrac{A+{\color{blue}\alpha} B}{1+{\color{blue}\alpha}}$ $\cdots$ ( 💡分點公式 ) 也就是： $(A,{\color{red}X},B)={\color{blue}\alpha}\;(\ne -1)\implies [A,{\color{red}X},B]= \dfrac{{\color{blue}\alpha} }{1+{\color{blue}\alpha}}$

4. 若 $A,B,{\color{red}X}, {\color{blue}Y}$ 為共線相異四點，且 $[A,{\color{red}X},B]={\color{blue}s}$、 $[A,{\color{#009900}Y},B]={\color{blue}t}$ ， 則： $[A,{\color{#009900}Y},{\color{red}X}]=\dfrac{\color{blue}t}{\color{blue}s}$

證明

1.

左式	右式	說明
$\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{X}}}{\overrightarrow{AB}}$	$={\color{blue}t}$	定義
$\overrightarrow{A\color{red}{X}}$	$={\color{blue}t}\;\overrightarrow{AB}$	向量比「性質 6」
${\color{red}X}-A$	$={\color{blue}t}\;(B-A)$	向量減法
${\color{red}X}$	$=(1-{\color{blue}t})A+{\color{blue}t}B$	移項

上面的推論都是可逆的，所以我們可以從 ${\color{red}X}=(1-{\color{blue}t})A+{\color{blue}t}B$ 一路回推至： $\dfrac{\overrightarrow{A\color{red}{X}}}{\overrightarrow{AB}}={\color{blue}t}$

2.

3.

4

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