向量比

向量的「除法」(英文也許可稱為 scalar quotient, inner quotient 或 vector division)

若 u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0} ，當 u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel\vec{v} 時，我們可以寫成 v⃗=t  u⃗\vec{v} = {\color{blue}t} \; \vec{u} ，其中 t∈R{\color{blue}t} \in \mathbb{R} 。此時，如果我們對這個方程式稍加計算，可得：

左式

＝

右式

說明

v⃗\color{red}{\vec{v}}

=

t  u⃗{\color{blue}t} \; \vec{u}

原式

u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\color{red}{\vec{v}}

=

t  u⃗⋅u⃗{\color{blue}t} \; \vec{u}\cdot\vec{u}

向量內積

u⃗⋅v⃗u⃗⋅u⃗\dfrac{\vec{u}\cdot\color{red}{\vec{v}}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}

=

t{\color{blue}t}

實數除法

我們可以利用這個算式來定義兩個向量的「向量比」：

定義

若 u⃗,v⃗∈R2\vec{u}, \vec{v}\in\mathbb{R}^2 ，其中 u⃗≠0⃗\vec{u}\ne\vec{0} ，則定義兩向量的「向量比」為：

v⃗u⃗=Δv⃗⋅u⃗u⃗⋅u⃗\dfrac{{\color{red}\vec{v}}}{\vec{u}} \overset{\Delta}{=} \dfrac{{\color{red}\vec{v}} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}

圖解

註解

  • 這個「比值」基本上是用來描述「 v⃗\vec{\color{red}{v}} 向量 (的投影量) 是 u⃗\vec{u} 向量的幾倍長」。

  • 在上面的定義中， u⃗\vec{u},v⃗\vec{v} 兩向量並不需要有平行關係。

性質

假設 u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0}、 a⃗×b⃗≠0\vec{a}\times\vec{b}\ne 0、 s≠0s\ne 0 (r,s∈R)(r,s\in\mathbb{R})

  1. 若 v⃗=t  u⃗\vec{v} = {\color{blue}t} \; \vec{u}，則： v⃗u⃗=t\dfrac{{\color{red}\vec{v}}}{\vec{u}}={\color{blue}t}

  2. u⃗u⃗=1\dfrac{\vec{u}}{\vec{u}}=1

  3. rv⃗su⃗=rs⋅v⃗u⃗\dfrac{r\vec{v}}{s\vec{u}}=\dfrac{r}{s}\cdot\dfrac{\vec{v}}{\vec{u}}

  4. 若 c⃗∥a⃗,d⃗∥b⃗\vec{c}\parallel\vec{a}, \vec{d}\parallel\vec{b} ，則： c⃗×d⃗a⃗×b⃗=(c⃗a⃗)(d⃗b⃗)\dfrac{{\color{red}\vec{c}}\times{\color{red}\vec{d}}}{\vec{a}\times\vec{b}}= \left(\dfrac{{\color{red}\vec{c}}}{\vec{a}}\right) \left(\dfrac{{\color{red}\vec{d}}}{\vec{b}}\right)

  5. 若 {c⃗=α  a⃗+β  b⃗d⃗=γ  a⃗+ω  b⃗\left\{ \begin{aligned} \vec{c} &= {\color{blue}\alpha} \; \vec{a} + {\color{blue}\beta} \; \vec{b} \\ \vec{d} &= {\color{blue}\gamma} \; \vec{a} + {\color{blue}\omega} \; \vec{b} \end{aligned} \right. ，則： c⃗×d⃗a⃗×b⃗=∣αβγω∣\dfrac{{\color{red}\vec{c}}\times{\color{red}\vec{d}}}{\vec{a}\times\vec{b}}= \begin{vmatrix} {\color{blue}\alpha} & {\color{blue}\beta} \\ {\color{blue}\gamma} & {\color{blue}\omega} \end{vmatrix}

  6. 若 v⃗u⃗=t\dfrac{{\color{red}\vec{v}}}{\vec{u}}={\color{blue}t} 且 v⃗∥u⃗\vec{v}\parallel\vec{u} ，則： v⃗=t  u⃗\vec{v} = {\color{blue}t} \; \vec{u}

  7. 在性質 6 中，若 t≠0{\color{blue}t}\ne 0，則：u⃗v⃗=1t\dfrac{\vec{u}}{{\color{red}\vec{v}}}=\dfrac{1}{\color{blue}t}

  8. v⃗+w⃗u⃗=v⃗u⃗+w⃗u⃗\dfrac{\vec{v}+\vec{w}}{\vec{u}}= \dfrac{\vec{v}}{\vec{u}}+\dfrac{\vec{w}}{\vec{u}}

證明

原式

推論

說明

v⃗u⃗\dfrac{{\color{red}\vec{v}}}{\vec{u}}

=v⃗⋅u⃗u⃗⋅u⃗=\dfrac{{\color{red}\vec{v}} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}

定義

=(t  u⃗)⋅u⃗u⃗⋅u⃗=\dfrac{({\color{blue}t} \; \vec{u}) \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}

v⃗=t  u⃗\vec{v} = {\color{blue}t} \; \vec{u}

=t  (u⃗⋅u⃗)u⃗⋅u⃗=\dfrac{{\color{blue}t} \; (\vec{u} \cdot \vec{u})}{\vec{u} \cdot \vec{u}}

內積性質

=t={\color{blue}t} ▨

實數除法 (約分)

附註

  • 從嚴格的意義上來說，「性質 5」並非「向量比」，因為 (在平面座標系中) 不管是 a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} 還是 c⃗×d⃗\vec{c}\times\vec{d} 都是純數，所以「性質 5」其實只是「實數的除法」而已❗

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