三角形面積

當我們利用「平面外積」來計算面積，並允許面積有「負值」時，許多傳統的平面幾何推論就可以由繁入簡。

定義

已知 A, B, C 為平面上任意三點，則定義其有向面積 $\Delta ABC$ 為：

• $\Delta ABC=\dfrac{1}{2}\;\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\cdot \overlinesegment{AB}\cdot \overlinesegment{AC}\cdot\sin\theta$

（ 其中 $\theta$ 為由 $\overrightarrow{AB}$ 轉到 $\overrightarrow{AC}$ 的「有向角」）

圖解

註解

• A, B, C 不需為相異三點，但都是一般點 (不是無窮遠點)。

• 如果 A, B, C 「逆時針繞」，則面積為「正」。

• 如果 A, B, C 「順時針繞」，則面積為「負」。

性質

$\Delta ABC$ 的各種計算方法

1. $\Delta ABC=\frac{1}{2}(A\times B+B\times C+C\times A)$

2. $\Delta ABC=\Delta BCA = \Delta CAB = -\Delta ACB=-\Delta BCA=-\Delta CBA$

3. $\Delta ABC=\dfrac{1}{2}\;\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}$

4. $\Delta ABC=\frac{1}{2} \overrightharpoon{A\color{red}{X}}\times\overrightharpoon{BC}$ ，其中 $\color{red}{X}$ 為直線 $\overleftrightarrow{BC}$ 上任一點。

證明

1️⃣

原式	推論	原因
$\Delta ABC$	$=\dfrac{1}{2}\;\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$	定義
	$=\dfrac{1}{2}(B-A)\times (C-A)$	$\overrightharpoon{AB}=B-A$
	$=\frac{1}{2}(B \times C - B \times A - A \times C)$	外積性質
	$=\frac{1}{2}(A\times B+B\times C+C\times A)$	外積性質

2️⃣

3️⃣

4️⃣

相關資訊

⬇️ 推論

• ⬇️ 孟氏線截西瓦線

📗 參考