等高原理

如果兩個三角形有「相同的高」，則它們的「面積比」就可化為兩個「底的比」。

如圖， $A,D$ 位於一條平行線上， $B,C,E,F$ 位於另一條平行線上， $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ 、 $\vec{b}=\overrightarrow{DE}$ 、 $\vec{u}=\overrightarrow{BC}$ 、 $\vec{v}=\overrightarrow{EF}$ 。假設 $\vec{v}\ne \vec{0}$，則：

$\dfrac{\Delta ABC}{\Delta DEF}=\dfrac{\vec{u}}{\vec{v}}$

在這種情況，我們說「 $\Delta ABC, \Delta DEF$ 等高」或「 $\vec{a}, \vec{b}$ 等高」。

證明

原式	推論	說明
$\dfrac{\Delta ABC}{\Delta DEF}$	$=\dfrac{\frac{1}{2}\;\vec{a}\times\vec{u}}{\frac{1}{2}\;\vec{b}\times\vec{v}}$	三角形面積「性質 3」
	$=\dfrac{\vec{a}\times\vec{u}}{(\vec{a}+{\color{blue}t}\vec{v})\times\vec{v}}$	$\vec{b}=\vec{a}+{\color{blue}t}\vec{v}$ ( ${\color{blue}t}\in\mathbb{R}$ )
	$=\dfrac{\vec{a}\times\vec{u}}{\vec{a}\times\vec{v}}$	外積性質
	$=\dfrac{\vec{a}}{\vec{a}}\cdot\dfrac{\vec{u}}{\vec{v}}$	向量比「性質 4」
	$=\dfrac{\vec{u}}{\vec{v}}$ ▨	向量比「性質 2」

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