外積

「平面外積」可用來計算面積，圖形的逆時針或順時針的「方向性」可決定面積的「正負值」。

定義

兩平面向量 $\vec{u}=(a,b), \vec{v}=(c,d)$ 的「外積」為：

• $\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$

（其中 $\theta$ 為由 $\vec{u}$ 轉到 $\vec{v}$ 的「有向角」）

此值也是兩向量所夾的「平行四邊形面積」。

圖解

註解

• 利用「平面外積」來計算由「兩向量所夾的平行四邊形」面積，最大的優點就是可以得知「方向性」。當外積值為「正」時，我們知道從 $\vec{u}$ 轉到 $\vec{v}$ 為「逆時鐘」方向，當外積值為「負」時，我們知道從 $\vec{u}$ 轉到 $\vec{v}$ 為「順時鐘」方向。

• 關於方向性的討論，可參考此投影片：👉 內外積性質比較

性質

1. $\vec{v}\times\vec{v}=0$

2. $\vec{v}\times\vec{u}=-\vec{u}\times\vec{v}$

3. $({\color{blue}k}\vec{u})\times\vec{v}=\vec{u}\times({\color{blue}k}\vec{v})={\color{blue}k}(\vec{u}\times\vec{v})$ ，其中 ${\color{blue}k}\in\mathbb{R}$

4. $\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}$

參考

• 👉 內外積性質比較