同底原理

如果兩個三角形有「相同的底」，則它們的「面積比」就可化為代表兩個高的「向量比」。

在下面的定理中， $\Delta PAB, \Delta QAB$ 擁有相同的底 $\overlinesegment{AB}$ ，它們的「面積比」可由一組作用類似「高」的向量決定。

定理

假設：

1. $A,B,P,Q$ 為平面上不共線相異四點

2. $\Delta QAB\ne 0$

3. 直線$\overleftrightarrow{AB}$ 與直線 $\overleftrightarrow{PQ}$ 交會於 $\color{red}X$ (可為無窮遠點)

則：$\dfrac{\Delta P{\color{blue}AB}}{\Delta Q{\color{blue}AB}}=\dfrac{\overrightharpoon{P{\color{red}X}}}{\overrightharpoon{Q{\color{red}X}}}=-(P,{\color{red}X},Q)$

或寫成： $\dfrac{\Delta P{\color{blue}AB}}{\Delta {\color{blue}BA}Q}=\dfrac{\overrightharpoon{P{\color{red}X}}}{\overrightharpoon{{\color{red}X}Q}}=(P,{\color{red}X},Q)$

💡 下圖中的四個點 $A,B,P,Q$ 可以拖曳。

註解

• $\color{red}X$ 點可以是 $\overlinesegment{AB}$ 的「內分點」或「外分點」。相同道理， $\color{red}X$ 點可以是 $\overlinesegment{PQ}$ 的「內分點」或「外分點」。因此，上圖至少有四種不同的結構，但都遵守此定理。

• 因為 $\Delta QAB\ne 0$ ，所以 $Q$ 點不會在 $\overleftrightarrow{AB}$ 直線上，因此 $\overleftrightarrow{PQ}$ 與 $\overleftrightarrow{AB}$ 不會是同一條線，所以 $\overleftrightarrow{PQ}$ 與 $\overleftrightarrow{AB}$ 一定會有交點。

• 當 $\overleftrightarrow{AB}\parallel\overleftrightarrow{PQ}$ 時， $\color{red}X$ 會變成一個「無窮遠點」，這時 $\overrightharpoon{P{\color{red}X}}, \overrightharpoon{Q{\color{red}X}}$ 都不是正常的向量，無法用「 向量比」來計算，但若使用「分點比」在 ${\color{red}X}=\infty$ 的定義，此定理依然成立❗

此定理最常使用的方式是：將「向量比」或「分點比」轉換為「面積比」，因為「向量比」或「分點比」常常位於不同的線上，彼此之間無法直接計算化簡，但如果都化成「面積比」之後，因為面積是單純的實數，就可以自由運用實數的運算法則，讓計算變得簡單。 ⭐

證明

X 為一般點

原式	推論	說明
$\dfrac{\Delta P{\color{blue}AB}}{\Delta Q{\color{blue}AB}}$	$=\dfrac{ \frac{1}{2} \overrightharpoon{P\color{red}{X}}\times\overrightharpoon{AB} }{ \frac{1}{2} \overrightharpoon{Q\color{red}{X}}\times\overrightharpoon{AB} }$	三角形面積「推論 3」
	$=\dfrac{\overrightharpoon{P\color{red}{X}}}{\overrightharpoon{Q\color{red}{X}}} \cdot \dfrac{\overrightharpoon{AB}}{\overrightharpoon{AB}}$	向量比的「性質 4」
	$=\dfrac{\overrightharpoon{P\color{red}{X}}}{\overrightharpoon{Q\color{red}{X}}}$	向量比的「性質 2」
	$=-(P,{\color{red}X},Q)$	分點比的「定義」

Ｘ為無窮遠點