西瓦定理

(Ceva's Theorem) 敘述通過三角形三頂點的三條線，相交於一點的定理。

定理

$A,B,C$ 為不共線三點， $P$ 點不在三角形的三邊上，且 $\overleftrightarrow{AP},\overleftrightarrow{BP},\overleftrightarrow{CP}$ 分別交對邊於 $D,E,F$，則：

$\dfrac{\overrightarrow{B{\color{red}D}}}{\overrightarrow{{\color{red}D}C}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{C{\color{red}E}}}{\overrightarrow{{\color{red}E}A}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{A{\color{red}F}}}{\overrightarrow{{\color{red}F}B}}={\color{blue}+1} \;\;\cdots$ (向量比的形式)

或用「分點比」的符號，可寫成：

$(B,{\color{red}D},C)(C,{\color{red}E},A)(A,{\color{red}F},B)={\color{blue}+1}\;\;\cdots$ (分點比的形式)

💡 下圖的 $A,B,C,P$ 可以拖曳。

註解

1. 因為$P$點不在三角形的三邊上，所以$\Delta PAB,\Delta PBC,\Delta PCA$都不等於$0$。

2. 因為$P$點不在三邊上，所以$D\ne B \text{ or } C, E\ne C \text{ or } A, F\ne A \text{ or } B$。

3. 比較特別的是，當 $P$ 為「無窮遠點」時，此定理亦成立❗(參考下面證明)

4. $D,E,F$ 亦可為「無窮遠點」，不影響此定理的正確性。根據此定理，如果 $D,E,F$ 有兩個無窮遠點，則第三個必為「中點」。

5. $\overleftrightarrow{AP},\overleftrightarrow{ BP},\overleftrightarrow{CP}$ 這三條線稱為「西瓦線」(cevian)。

6. 我們稱像 $P$ 這種「不在三邊上」的點為「西瓦點」。

證明

P 為一般點

原式	推論	說明
$\dfrac{\Delta B{\color{blue}PA}}{\Delta {\color{blue}AP}C}$	$=(B,{\color{red}D},C)$	同底原理
$\dfrac{\Delta C{\color{blue}PB}}{\Delta {\color{blue}BP}A}$	$=(C,{\color{red}E},A)$	同底原理
$\dfrac{\Delta A{\color{blue}PC}}{\Delta {\color{blue}CP}B}$	$=(A,{\color{red}F},B)$	同底原理
$\dfrac{\cancel{\Delta B{\color{blue}PA}}}{\cancel{\Delta {\color{blue}AP}C}}\cdot \dfrac{\cancel{\Delta C{\color{blue}PB}}}{\cancel{\Delta {\color{blue}BP}A}}\cdot \dfrac{\cancel{\Delta A{\color{blue}PC}}}{\cancel{\Delta {\color{blue}CP}B}}$	$=1$	實數約分

故得證 ▨

P 為無窮遠點

參考

• Ceva's theorem (Wikipedia)