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# 關係╱relation

[數學](../math) ⟩ [集合]() ⟩ 關係╱relation

{% hint style="success" %}
描述「<mark style="color:yellow;">**不同變數**</mark>之間的[述詞](../logic/predicate)╱[predicate](../logic/predicate)」稱為「<mark style="color:purple;">**關係**</mark>╱<mark style="color:yellow;">relation</mark>」，因此「<mark style="color:purple;">**關係**</mark>」也是一種「[集合]()」，例如：

* $$A(x,y):$$「 $$x<y \ (x,y\in\mathbb{Z})$$ 」
* $$B(x,y):$$ 「 $$x$$ 是 $$y$$ 的兒子 」

:star: 注意：不同的變數可以屬於不同的集合，也可以屬於相同的集合。
{% endhint %}

{% tabs %}
{% tab title="🔴 主題" %}
* [binary](binary "mention")
  * <mark style="color:yellow;">**equivalence relations**</mark>:&#x20;
  * <mark style="color:yellow;">**partial orders**</mark>:&#x20;
  * [quan-xu-total-ordering](binary/quan-xu-total-ordering "mention")
  * <mark style="color:yellow;">**functions**</mark>:&#x20;
* [prop](binary/prop "mention")
  * [reflexive](binary/prop/reflexive "mention")： $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ a$$
  * [symmetric](binary/prop/symmetric "mention")： $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b \implies b \ {\color{orange} \mapsto} \ a$$
  * [antisymmetric](binary/prop/antisymmetric "mention")： $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b \ \land \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ a \implies a = b$$
  * [transitive](binary/prop/transitive "mention")： $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b  \ \land \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$$
  * [totality](binary/prop/totality "mention")： $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b \ \lor \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ a$$
{% endtab %}

{% tab title="🗺️ 圖表" %}
* [prop](binary/prop "mention")

<figure><img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2F5Za0YcT6V0jDvAaavcXO%2Frelation_properties.png?alt=media&#x26;token=38a9be79-961c-4bf5-a021-e52e7167dded" alt=""><figcaption><p>properties of relations</p></figcaption></figure>
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* wiki ⟩&#x20;
  * [Cartesian product](https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product) (數學「<mark style="color:purple;">**關係**</mark>」是「笛卡兒積」的子集)
  * [adjacency list](https://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_list) (也算是一種數學「<mark style="color:purple;">**關係**</mark>」)
{% endtab %}
{% endtabs %}

