# 遞移性╱transitivity

[集合](../..) ⟩ [關係](../../relation) ⟩ [二元](..) ⟩ [性質]() ⟩ 遞移性

{% hint style="success" %}
若「[二元關係](..)」，擁有以下性質：

* $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$$

此時我們說此「[二元關係](..)」具有具有「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」(<mark style="color:yellow;">**transitivity**</mark>)。
{% endhint %}

<figure><img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FJGWKPSYnp4KjCeTrBzLU%2Frelation_transitive.png?alt=media&#x26;token=67c1d03f-2c72-4a5a-85be-43d638faf935" alt=""><figcaption><p>transitive relation</p></figcaption></figure>

{% hint style="danger" %}
如果想利用表格看出「[二元關係](..)」是不是<mark style="color:yellow;">**具有**</mark>「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」恐怕不切實際，如上圖：

1. 首先，挑選「<mark style="color:yellow;">**對角線**</mark>」上的<mark style="color:yellow;">**任一位置**</mark> $$(b,b)$$。(此點有沒有設立關係無所謂)
2. 然後挑選<mark style="color:yellow;">**不同行不同列**</mark>的<mark style="color:yellow;">**另一位置**</mark> $$(a,c)$$ 當它的「<mark style="color:yellow;">**對角點**</mark>」。
3. 利用這兩點<mark style="color:yellow;">**圍成一個矩形**</mark>（白底標出的部分）。
4. 若 $$(b,b)$$ <mark style="color:yellow;">**兩側頂點**</mark>位置（藍色箭頭所指處）<mark style="color:yellow;">**有設立關係**</mark> ($$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ c$$)，則代表 $$(a,c)$$ 位置也<mark style="color:red;">**必須**</mark><mark style="color:yellow;">**有設立關係**</mark> ($$a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$$)。

從上面的步驟可以看出，如果是一個大表格，用這個方法檢查「[二元關係](..)」有沒有「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」，根本不可行，畢竟人腦非電腦。
{% endhint %}

{% hint style="success" %}
但如果要利用上述方法看出它<mark style="color:red;">**沒有**</mark>「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」，則相對簡單些，我們只要<mark style="color:yellow;">**舉出一個反例**</mark>即可：

* 首先，任挑一個「<mark style="color:yellow;">**空格**</mark>」 $$(a,c)$$ (沒有設立關係的點)。
* 在「<mark style="color:yellow;">**對角線**</mark>」上任挑一個<mark style="color:yellow;">**不同行不同列**</mark>的點 $$(b,b)$$。(此點有沒有設立關係無所謂)
* 利用這兩點<mark style="color:yellow;">**圍成一個矩形**</mark>。
* 若發現 $$(b,b)$$ <mark style="color:yellow;">**兩側頂點**</mark>位置（藍色箭頭所指處）<mark style="color:red;">**都**</mark><mark style="color:yellow;">**有設立關係**</mark>，這時就發現一個反例了。
{% endhint %}

例如：下圖就代表一個<mark style="color:red;">**沒有**</mark>「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」的「[二元關係](..)」。

![](https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FpapjfhyfrLJGULLHChsj%2Frelation_non_transitive.png?alt=media\&token=7edc8e21-61b9-4ca9-b63a-d3ccfb42a7d0)

{% tabs %}
{% tab title="🔴 主題" %}
* 具有「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」(<mark style="color:yellow;">**transitivity**</mark>) 的「[二元關係](..)」：
  * [quan-xu-total-ordering](../quan-xu-total-ordering "mention")：例如 $$x\le y$$
{% endtab %}

{% tab title="⭐️ 重點" %}
{% hint style="info" %}
在「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」的條件中：&#x20;

* $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$$

只要討論 $$b \neq a, \ b \neq c$$ 的情況就好，因為：

* 當 $$b=a$$，原條件變成 $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ a, \ a \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$$，顯然成立。
* 當 $$b=c$$，原條件變成 $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ c, \ c \ {\color{orange}\mapsto} \ c \implies a \ {\color{orange}\mapsto} \ c$$，也顯然成立。

這也是為什麼我們在上面的討論中，利用表格如何判斷一個「[二元關係](..)」是否具有「<mark style="color:orange;">**遞移性**</mark>」時，只需考慮「一般的矩形」就好，不需考慮「壓扁或退化的矩形範圍」。
{% endhint %}
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* Abstract and Linear Algebra (Burton) ⟩ 1.2 Functions and relations (p. 19)&#x20;
{% endtab %}
{% endtabs %}
