# 反對稱╱antisymmetry

[集合](../..) ⟩ [關係](../../relation) ⟩ [二元](..) ⟩ [性質]() ⟩ 反對稱

{% hint style="success" %}
若「[二元關係](..)」，擁有以下性質：

* $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ a \implies a = b$$  （<mark style="color:yellow;">**對稱位置**</mark><mark style="color:red;">**不能**</mark><mark style="color:yellow;">**同時**</mark><mark style="color:green;">**有**</mark><mark style="color:yellow;">**關係**</mark>）

此時我們說此「[二元關係](..)」具有具有「<mark style="color:orange;">**反對稱性**</mark>」(<mark style="color:yellow;">**antisymmetry**</mark>)。
{% endhint %}

<figure><img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FjGMqAQf9AcUaZbzCVQny%2Frelation_antisymmetric.png?alt=media&#x26;token=b6cb0f26-45c9-4600-b86d-d1820a6e7fc4" alt=""><figcaption><p>antisymmetric relation</p></figcaption></figure>

{% hint style="info" %}
利用表格，可以看出「[二元關係](..)」是不是具有「<mark style="color:orange;">**反對稱性**</mark>」：

* 對稱「<mark style="color:yellow;">**對角線**</mark>」的「<mark style="color:yellow;">**每對位置**</mark>」：
  * 如果其中一個位置<mark style="color:green;">**有**</mark>關係，則代表另一個位置**一定**<mark style="color:red;">**沒有**</mark>此關係。
  * 如果其中一個位置<mark style="color:red;">**沒有**</mark>關係，則另一個位置<mark style="color:yellow;">**可以有**</mark>、也<mark style="color:yellow;">**可以沒有**</mark>此關係。
  * 換句話說，「<mark style="color:yellow;">**對稱位置**</mark>」<mark style="color:red;">**不能同時**</mark><mark style="color:yellow;">**有關係**</mark>。
  * :bulb: 因此：
    * 一看到有「<mark style="color:yellow;">**對稱位置**</mark>」<mark style="color:red;">**同時**</mark><mark style="color:yellow;">**有關係**</mark>，就代表此關係<mark style="color:red;">**不具備**</mark>「<mark style="color:orange;">**反對稱性**</mark>」。
    * 反過來說，如果找不到這種例子，那就代表<mark style="color:green;">**有**</mark>「<mark style="color:orange;">**反對稱性**</mark>」。
* 「<mark style="color:yellow;">**對角線上的位置**</mark>」不管是否有關係，都對「<mark style="color:orange;">**反對稱性**</mark>」<mark style="color:yellow;">**沒有任何影響**</mark>。
{% endhint %}

{% hint style="success" %}
除了對角線外，完全沒有任何像 $$a \ {\color{orange}\mapsto} \ b, \ b \ {\color{orange}\mapsto} \ a$$ 這樣的「對稱關係」同時存在:exclamation:
{% endhint %}

{% tabs %}
{% tab title="🔴 主題" %}
具有「<mark style="color:orange;">**反對稱性**</mark>」(<mark style="color:yellow;">**antisymmetry**</mark>) 的[關係](../../relation)：

* [quan-xu-total-ordering](../quan-xu-total-ordering "mention")：例如 $$x\le y$$
{% endtab %}

{% tab title="👥 相關" %}
* 比較：
  * 「<mark style="color:orange;">**反對稱**</mark>」：「<mark style="color:yellow;">**對稱位置**</mark>」<mark style="color:red;">**不能**</mark><mark style="color:yellow;">**同時**</mark><mark style="color:green;">**有**</mark><mark style="color:yellow;">**關係**</mark>。
  * 「[全序性](totality)」：「<mark style="color:yellow;">**對稱位置**</mark>」<mark style="color:red;">**不能**</mark><mark style="color:yellow;">**同時**</mark><mark style="color:red;">**沒**</mark><mark style="color:yellow;">**關係**</mark>。
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* Abstract and Linear Algebra (Burton) ⟩ 1.2 Functions and relations (p. 19)&#x20;
{% endtab %}
{% endtabs %}
