# (-∞,r) 是戴德金分割

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{% hint style="success" %}
* $${\color{orange}a}  = (-\infty, r) = \{ \ q \in \mathbb{Q} \ | \ q < r \}$$ 是「[戴德金分割](dedekind-cut)」，其中 $$r \in \mathbb{Q}$$
{% endhint %}

## 證明 <a href="#proof" id="proof"></a>

{% tabs %}
{% tab title="🔸  DC1" %}
{% hint style="info" %}
<mark style="color:yellow;">**DC1**</mark>：$${\color{orange}a} \neq \phi, \ {\color{orange}a} \neq \mathbb{Q}$$（ $${\color{orange}a}$$ <mark style="color:red;">**不是**</mark><mark style="color:yellow;">**空集合**</mark>，也<mark style="color:red;">**不是**</mark>整個<mark style="color:yellow;">**有理數集**</mark> ）
{% endhint %}

<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FnbXMVWRYfGShgZ705TNM%2Ffile.excalidraw.svg?alt=media&#x26;token=5b9f52c9-0059-4240-83f2-c2f6eca83976" alt="「戴德金分割」定義：(DC1)" class="gitbook-drawing">
{% endtab %}

{% tab title="🔸 DC2" %}
{% hint style="info" %}
<mark style="color:yellow;">**DC2**</mark>：$$p < q \in {\color{orange}a} \implies p \in {\color{orange}a}$$ （ $${\color{orange}a}$$ <mark style="color:yellow;">**是左半數線**</mark> ）
{% endhint %}

<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2F59IWotzZT6LQaAy4JvJQ%2Ffile.excalidraw.svg?alt=media&#x26;token=a3b6fb75-251b-44ff-aec3-1f4705dadb32" alt="「戴德金分割」定義：(DC2)" class="gitbook-drawing">
{% endtab %}

{% tab title="🔸 DC3" %}
{% hint style="info" %}
<mark style="color:yellow;">**DC3**</mark>：$$q \in {\color{orange}a} \implies \exists q' \in {\color{orange}a}, \ \ni q < q'$$ （ $${\color{orange}a}$$ 中<mark style="color:red;">**沒有**</mark><mark style="color:yellow;">**最大值**</mark> ）
{% endhint %}

<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FlVy9qljmr4Q4CTWGsaWQ%2Ffile.excalidraw.svg?alt=media&#x26;token=b29bbeec-803f-4259-af11-ce5e32b0c312" alt="" class="gitbook-drawing">
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* [ ] Understanding Analysis ⟩ 8.6 A Construction of R From Q
* [ ] wiki ⟩ [Dedekind cut](https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut)
{% endtab %}
{% endtabs %}
