---
description: Dedekind cut╱🚧 under construction -> 最大值, 最小值, 子集, 上界, 三一律
---

# 戴德金分割

[數學](../../../../math) ⟩ [數系](../../..) ⟩ [實數](../..) ⟩ [建造](..) ⟩ [定義實數]() ⟩ 戴德金分割

下圖是一個[有理數](../../../rational)數線上的<mark style="color:orange;">子集</mark> (subset)，具備三特性： ⑴ <mark style="color:yellow;">非特化</mark> ⑵ <mark style="color:yellow;">左封閉</mark> ⑶ <mark style="color:yellow;">右開放</mark>，這樣的<mark style="color:orange;">子集</mark>稱為「<mark style="color:purple;">戴德金分割</mark>」：

<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2F3bXRRHJwsadlXXThF3nA%2Ffile.excalidraw.svg?alt=media&#x26;token=a891c805-e0f5-4300-97e7-dda1c3e69126" alt="戴德金分割 (Dedekind cut)" class="gitbook-drawing">

{% hint style="success" %}
![](https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2F6psqPGgFHguzM4yqLGH2%2Fdefinition%2081x31.png?alt=media\&token=4023cbcf-b720-4ff9-b90d-5fe6550be85e) 若 $${\color{orange}a} \subseteq \mathbb{Q}$$，並擁有以下性質(設 $$p, q, r, x \in \mathbb{Q}$$)：

* ⑴ <mark style="color:yellow;">**DC1**</mark>：$${\color{orange}a} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$$    ( $$\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}$$ )  (非特化：非空真子集)
* ⑵ <mark style="color:yellow;">**DC2**</mark>：$$p < q  \in {\color{orange}a} \implies p \in {\color{orange}a}$$   (左封閉)
* ⑶ <mark style="color:yellow;">**DC3**</mark>：$$p \in {\color{orange}a} \implies \exists q \in {\color{orange}a}, \ \ni p < q$$     (右開放： $${\color{orange}a}$$ <mark style="color:red;">**沒有**</mark><mark style="color:orange;">最大值</mark>)

則稱 $${\color{orange}a}$$ 為一個「<mark style="color:purple;">戴德金分割</mark>╱<mark style="color:yellow;">Dedekind cut</mark>」。
{% endhint %}

後面我們將這樣的[有理數](../../../rational)<mark style="color:orange;">子集</mark> $${\color{orange}a}$$ 當作一種[新的數](system)(number)，我們稱之為「[實數](system)」(real number)。

{% tabs %}
{% tab title="🔴 主題" %}
* [rational](rational "mention")
* 🚧 存在不是 (-∞, r) 形的戴德金分割
{% endtab %}

{% tab title="⬇️ 推論" %}
* [order](../order "mention")
* [add](../add/add "mention")
* [prop](../add/prop "mention")：[A3](../../add/prop#a3)╱<mark style="color:yellow;">**加法**</mark><mark style="color:orange;">**反元素**</mark>： $${\color{orange}a}+ ({\color{orange}-a}) = {\color{orange}\mathbf{𝟘}}$$
* [negative](../add/negative "mention")：也是一個「<mark style="color:purple;">戴德金分割</mark>」
* [nonnegative](../mult/nonnegative "mention")
* [nonneg\_props](../mult/nonneg_props "mention")
{% endtab %}

{% tab title="🗺️ 圖表" %}
<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FhUAU48BVJtxSlZNMTOhU%2Fdedekind_dc1.svg?alt=media&#x26;token=e7d49102-ea11-48d9-8ca6-969ec8ab2201" alt="" class="gitbook-drawing">

<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2Fp2u2CzV56lFCyEPJkB5E%2Fdedekind.dc2.svg?alt=media&#x26;token=332a1083-34ac-43c7-95d6-c7c764e50106" alt="" class="gitbook-drawing">

<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FhU6PH56Wl9OXmQKUoUdE%2Fdedekind.dc3.svg?alt=media&#x26;token=5ffe9fbb-69ca-4254-ac90-ea627d1378c2" alt="" class="gitbook-drawing">


{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* [ ] Understanding Analysis ⟩ 8.6 A Construction of R From Q
* [ ] wiki ⟩ [Dedekind cut](https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut)
{% endtab %}

{% tab title="❓ 問題" %}
{% hint style="warning" %}
問：「 如果放開 <mark style="color:yellow;">**DC1**</mark> 條件，會形成什麼樣的新數系呢？ 」
{% endhint %}
{% endtab %}
{% endtabs %}

## 戴德金分割的補集性質 <a href="#properties" id="properties"></a>

{% hint style="info" %}
若 $${\color{orange}a}$$ 是<mark style="color:purple;">戴德金分割</mark>，則 $${\color{orange}\bar{a}}$$ ( $${\color{orange}a}$$ 的[補集](../../../../set/complement)) 具有下列性質 (假設 $$p, x, y \in {\color{orange}\mathbb{Q}}$$）：

* ⑴ 非特化： $${\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$$
* ⑵ 右半線：$$x \in {\color{orange}\bar{a}}, \ x < y \implies  \ y \in {\color{orange}\bar{a}}$$
* ⑶ 上下界：$$p \in {\color{orange}a} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}} \implies  p < x$$（每個 $$p \in {\color{orange}a}$$ 是 $${\color{orange}\bar{a}}$$ 的<mark style="color:orange;">下界</mark>，每個 $$x \in {\color{orange}\bar{a}}$$ 是 $${\color{orange}a}$$ 的<mark style="color:orange;">上界</mark>）
{% endhint %}

{% hint style="warning" %}
:warning: 注意：

* 這裡用 $${\color{orange}\bar{a}}$$ 來表示「$${\color{orange}a}$$ 的[補集](../../../../set/complement)」，但在[複數系](../../../complex)中，這種符號是指[共軛複數](../../../complex/conjugate)。
* $${\color{orange}\bar{a}}$$ 有可能是「<mark style="color:orange;">封閉性</mark>」的，也就是說，$${\color{orange}\bar{a}}$$ 有可能有<mark style="color:orange;">最小值</mark>，例如：如果 $${\color{orange}a} = (-\infty, 0)$$ ，則 $${\color{orange}\bar{a}} = [0, \infty)$$，這時 $${\color{orange}\bar{a}}$$ 有<mark style="color:orange;">最小值</mark> $$0$$。
{% endhint %}

## 證明 <a href="#proof" id="proof"></a>

{% tabs %}
{% tab title="⑴" %}
{% hint style="info" %}
⑴ 非特化： $${\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}, \ {\color{orange}\mathbb{Q}}$$
{% endhint %}

![](https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2Fm5CMrrlSQ1uyllLoAEdW%2Fproof%2079x30.png?alt=media\&token=2564fafe-0939-4614-b2de-f729f9c17af3)

1. 因為 $${\color{orange}a}$$ 是<mark style="color:purple;">戴德金分割</mark>，根據其定義 <mark style="color:yellow;">**DC1**</mark> (非特例)： $$\exists p \in {\color{orange}a}, \exists x \notin {\color{orange}a}$$&#x20;
2. 因此  $$p \notin {\color{orange}\bar{a}} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}}$$
3. 因為 $$p \notin {\color{orange}\bar{a}}$$，所以 $${\color{orange}\bar{a}} \neq   {\color{orange}\mathbb{Q}}$$。因為 $$x \in {\color{orange}\bar{a}}$$，所以 $${\color{orange}\bar{a}} \neq {\color{orange}\phi}$$ ▨
{% endtab %}

{% tab title="⑵" %}
{% hint style="info" %}
⑵ 右半線：$$x \in {\color{orange}\bar{a}}, \ x < y \implies  \ y \in {\color{orange}\bar{a}}$$
{% endhint %}

![](https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2Fm5CMrrlSQ1uyllLoAEdW%2Fproof%2079x30.png?alt=media\&token=2564fafe-0939-4614-b2de-f729f9c17af3)

1. 若 $$\ y \in {\color{orange}a}$$ ，則根據 $${\color{orange}a}$$ 的「<mark style="color:yellow;">**DC2**</mark> 左半線性質」： $$x < y \ \land \ y \in {\color{orange}a} \implies x \in {\color{orange}a}$$&#x20;
2. 但這結果與 $$x \in {\color{orange}\bar{a}}$$ 矛盾
3. 因此 $$y \in {\color{orange}\bar{a}}$$  ▨
{% endtab %}

{% tab title="⑶" %}
{% hint style="info" %}
⑶ 上下界：$$p \in {\color{orange}a} \ \land \ x \in {\color{orange}\bar{a}} \implies  p < x$$
{% endhint %}

![](https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2Fm5CMrrlSQ1uyllLoAEdW%2Fproof%2079x30.png?alt=media\&token=2564fafe-0939-4614-b2de-f729f9c17af3)

因為 $$p, x \in {\color{orange}\mathbb{Q}}$$，根據[有理數](../../../rational)的「<mark style="color:orange;">三一律</mark>」，下列三個必有一個是正確的：

* ⑴ $$p=x$$ ⑵ $$p>x$$ ⑶ $$p<x$$

***

1. 假設 $$p=x$$，則 $$p=x \in {\color{orange}\bar{a}}$$，這跟已知 $$p \in {\color{orange}a}$$ 矛盾，故不合。
2. 假設 $$p>x$$，則根據 $${\color{orange}\bar{a}}$$ 的「右半線」性質： $$x \in {\color{orange}\bar{a}}, \ x < p \implies  \ p \in {\color{orange}\bar{a}}$$，這跟已知 $$p \in {\color{orange}a}$$ 矛盾，故不合。
3. 根據以上兩點，只剩下唯一個可能，就是 $$p<x$$  ▨
{% endtab %}
{% endtabs %}
