# 射影向量

[線代](..) ⟩ [向量]() ⟩ 射影向量&#x20;

{% hint style="success" %}
向量 $$\mathbf{u}$$ 投射在向量 $$\mathbf{v}$$ 身上的向量，稱為「<mark style="color:purple;">**射影向量**</mark>」：

$$\text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u})=\left(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\right)\mathbf{v}$$

( 其中 $$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$$ )

:u6307: 同義詞：<mark style="color:purple;">投影向量</mark>, "<mark style="color:purple;">**projection of u onto v**</mark>"
{% endhint %}

{% tabs %}
{% tab title="⭐️ 重點" %}
{% hint style="info" %}
透過<mark style="color:purple;">**射影向量**</mark>，可以將[**向量分解**](decomp/perp)成兩個<mark style="color:yellow;">**互相垂直**</mark>的向量。
{% endhint %}
{% endtab %}

{% tab title="🔴 主題" %}
* [射影向量的矩陣表示法](proj/matrix)
* [向量的垂直分解](decomp/perp)
{% endtab %}

{% tab title="🎖 證明" %}
<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2F34ub96UGk4iPZcV9Qbut%2Fvector.projection.proof.svg?alt=media&#x26;token=5cbd6da0-4b0f-4a69-b05f-9ce277099fdc" alt="" class="gitbook-drawing">
{% endtab %}

{% tab title="👥 相關" %}
* [矩陣乘法](../matrix/op/mult)
* [div](op/div "mention")
* <mark style="color:purple;">**射影向量**</mark>是一種[線性變換](../space/transform)。
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004)
* wiki ⟩ [The Gram–Schmidt process](https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process)&#x20;
{% endtab %}
{% endtabs %}
