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description: 🚧 under construction -> 方陣,  可逆矩陣
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# 轉置矩陣

[線代](../..) ⟩ [矩陣](..) ⟩ [運算]() ⟩ 轉置矩陣  ("<mark style="color:purple;">**transpose**</mark>")

{% hint style="success" %}
將矩陣 $$\mathbf{A}$$ 的<mark style="color:yellow;">**行列互換**</mark>，所得到的矩陣就稱為「<mark style="color:purple;">**轉置矩陣**</mark>」，以 $${\color{orange}\mathbf{A}^T}$$ 表示。

$$(\mathbf{A}^T)_{ij} = \mathbf{A}_{ji}$$
{% endhint %}

{% tabs %}
{% tab title="🔸 性質" %}
{% hint style="info" %}
1. (1) $$(\mathbf{A}_{{\color{orange}{i}} *} )^T =\left(\mathbf{A}^T \right)_{*\color{orange}{i}}$$\
   「$$\mathbf{A}$$ 的第 $$i$$ <mark style="color:green;">**列**</mark>」[轉置](transpose)後變成「$${\color{orange}\mathbf{A}^T}$$ 的第 $$i$$ <mark style="color:yellow;">**行**</mark>」\
   \
   (2) $$(\mathbf{A}_{* {\color{orange}{j}} } )^T =\left(\mathbf{A}^T \right)_{{\color{orange}{j}} *}$$\
   「$$\mathbf{A}$$ 的第 $$j$$ <mark style="color:yellow;">**行**</mark>」[轉置](transpose)後變成「$${\color{orange}\mathbf{A}^T}$$ 的第 $$j$$ <mark style="color:green;">**列**</mark>」
{% endhint %}

{% hint style="success" %}
2. $$\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T$$
{% endhint %}

* 需要：[矩陣乘法表格化](../mult/by-tables#ding-li)、行向量 ⨉ 列向量[引理](../mult/col-times-row#yin-li)。
* 證明：👉 <img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FnrKApZVZ3oNX6Vd1N7L0%2F(AB)t%3DBtAt_2.png?alt=media&#x26;token=4f19b52b-15e4-4430-a87e-9cdb71bdefd7" alt="" data-size="line">\


{% hint style="success" %}
3. $$\mathbf{A} \to  {\color{orange}\mathbf{A}^T}$$ 是一種[**線性變換**](../../space/transform)：
   * $$(\mathbf{A+B})^{\color{orange}T} = \mathbf{A}^{\color{orange}T} + \mathbf{B}^{\color{orange}T}$$
   * $$({\color{orange}k}\mathbf{A})^{\color{orange}T} = {\color{orange}k} (\mathbf{A}^{\color{orange}T})$$
{% endhint %}

{% hint style="info" %}
4. 若 $$\mathbf{M}$$  為<mark style="color:yellow;">**可逆方陣**</mark>，則：$$\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T =  \left(\mathbf{M}^{T}\right)^{-1}$$
{% endhint %}

* 證明： $$\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T \mathbf{M}^T = \left(\mathbf{M} \mathbf{M}^{-1}\right)^T = \mathbf{I}^T = \mathbf{I}$$ ▨
* 相關： [normal-vec](../../space/transform/normal-vec "mention")
{% endtab %}

{% tab title="⭐️ 重點" %}
{% hint style="danger" %}
1. <mark style="color:purple;">**轉置**</mark>後的<mark style="color:yellow;">**行列數**</mark>會跟原來<mark style="color:red;">**不同**</mark> (除非它是個<mark style="color:yellow;">**方陣**</mark>):exclamation:&#x20;
{% endhint %}

{% hint style="info" %}
2. $$\left(\mathbf{M}^{-1}\right)^T$$ 稱為 $$\mathbf{M}$$ 的 "<mark style="color:yellow;">**inverse transpose**</mark>"。 :point\_right: [normal-vec](../../space/transform/normal-vec "mention")
{% endhint %}
{% endtab %}

{% tab title="👥 相關" %}
* [inverse](mult/inverse "mention")
* [matrix](../../space/basis/ortho/matrix "mention")
* [normal-vec](../../space/transform/normal-vec "mention")
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* [ ] Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics (2nd Edition, 2004) &#x20;
{% endtab %}
{% endtabs %}
