# 行向量 ⨉ 列向量

[線代](../../..) ⟩ [矩陣](../..) ⟩ [運算](..) ⟩ [乘法]() ⟩ 行向量 ⨉ 列向量

:u6307: 同義詞："<mark style="color:purple;">**outer product**</mark>"

{% hint style="success" %}
當[行向量](../../row-col)乘以[列向量](../../row-col)時：

* <mark style="color:green;">**一定可以**</mark><mark style="color:yellow;">**相乘**</mark>，不會有維度不合的問題。\
  ( $$m\times 1$$ 矩陣乘以 $$1\times n$$ 矩陣會得到 $$m\times n$$ 矩陣)
* 而且會產生「<mark style="color:yellow;">**一個表格**</mark>」，<mark style="color:yellow;">**類似九九乘法表**</mark>。
{% endhint %}

{% tabs %}
{% tab title="🔴 主題" %}
* [「分割式」乘法](split-table)
{% endtab %}

{% tab title="🗺️ 圖表" %}
<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FH6ZlsYuIH3EAraHF6mr7%2Fcol.times.row.svg?alt=media&#x26;token=b140fc8f-b2e9-4dd4-bf40-e5df5e2aa615" alt="" class="gitbook-drawing">
{% endtab %}

{% tab title="⭐️ 重點" %}
{% hint style="warning" %}
$$\mathbf{u}$$,  $$\mathbf{v}$$ 是[行向量](../../row-col)或[列向量](../../row-col)，<mark style="color:yellow;">**且**</mark><mark style="color:red;">**可作**</mark>[矩陣乘法]()，只有兩種狀況：

* $$\mathbf{u}$$ 為[<mark style="color:orange;">**行**</mark><mark style="color:yellow;">**向量**</mark>](../../row-col)、$$\mathbf{v}$$ 為[<mark style="color:green;">**列**</mark><mark style="color:yellow;">**向量**</mark>](../../row-col) (兩者維度<mark style="color:yellow;">**可以不同**</mark>)，它們的乘積又稱為 "<mark style="color:purple;">**outer product**</mark>"。
* $$\mathbf{u}$$ 為[<mark style="color:green;">**列**</mark><mark style="color:yellow;">**向量**</mark>](../../row-col)、$$\mathbf{v}$$ 為[<mark style="color:orange;">**行**</mark><mark style="color:yellow;">**向量**</mark>](../../row-col) (兩者維度<mark style="color:red;">**必須相同**</mark>)，它們的乘積又稱為「[內積](../../../vec/op/dot)」("<mark style="color:purple;">**inner product**</mark>")。
{% endhint %}
{% endtab %}

{% tab title="🛠 工具" %}
* [Desmos Calculator](https://www.desmos.com/matrix?lang=zh-TW)
{% endtab %}

{% tab title="👥 相關" %}
* 比較： [內積](../../../vec/op/dot)、[外積](../../../vec/op/cross)
* [轉置矩陣](../transpose)與這裡的性質證明相關。
{% endtab %}

{% tab title="⬇️ 應用" %}
* 轉置矩陣[定理](../../transpose#prop)
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* Linear Algebra - A Modern Introduction, 3.1 Matrix Operations ⟩&#x20;
  * Partitioned Matrices
{% endtab %}
{% endtabs %}

例如： $$\mathbf{u} =  \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$為[<mark style="color:orange;">**行**</mark><mark style="color:yellow;">**向量**</mark>](../../row-col)、 $$\mathbf{v} =\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$為[<mark style="color:green;">**列**</mark><mark style="color:yellow;">**向量**</mark>](../../row-col)，則 $$\mathbf{uv} =\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5\\ 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}$$

這種乘法<mark style="color:yellow;">**類似**</mark>「九九乘法表」：

<img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FrSoYotAIwyvXj59FRoPi%2Fcol_times_row.png?alt=media&#x26;token=2768df2d-b275-4d73-89c5-11cb3c1a8692" alt="" data-size="original">

{% hint style="success" %}
這種觀點在<mark style="color:yellow;">**證明**</mark>[矩陣乘法](by-tables)公式時，常常能有比較<mark style="color:yellow;">**直觀簡潔**</mark>的證法。
{% endhint %}

## 💍 引理

{% hint style="success" %}
若： $$\mathbf{u}$$,  $$\mathbf{v}$$ 是[行向量](../../row-col)或[列向量](../../row-col)，<mark style="color:yellow;">**且**</mark><mark style="color:red;">**可作**</mark>[矩陣乘法]()，

則： $$(\mathbf{uv})^T = \mathbf{v}^T \mathbf{u}^T$$
{% endhint %}

🎖 證明： :point\_right: <img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FPWnwv2GURXk1FYy5711H%2F(uv)T%3DvTvT.png?alt=media&#x26;token=5b6e3263-fa16-4ab5-8f46-438b5361d790" alt="" data-size="line">

