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# 群的性質

[代數](..) ⟩ [系統](../system) ⟩ [群]() ⟩ 群的性質

{% hint style="success" %}
1. [單位元素](../binary/identity) $$e$$ 是<mark style="color:yellow;">**唯一的**</mark>。 (證明：👉 <img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FqHnZwmpCDIZax74alHij%2Fidentity_unique.png?alt=media&#x26;token=2a4d7361-5498-4701-a4c8-15678214724f" alt="" data-size="line">)
2. <mark style="color:yellow;">每個元素</mark> $$a$$ 都擁有[反元素](../binary/inverse) $$a^{-1}$$，而且是<mark style="color:yellow;">**唯一的**</mark>。 (證明：👉 <img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FZAoBNiQwAj2zAUKMBRJ3%2Finverse_unique.png?alt=media&#x26;token=e556c7f0-498f-4c6c-a03a-f1b37d09288c" alt="" data-size="line">)
3. $$(a^{-1})^{-1} = a, \ \forall a \in \mathbf{G}$$
4. $$(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}, \ \forall a,b \in \mathbf{G}$$&#x20;
5. $$e^{-1} = e$$
{% endhint %}

{% hint style="info" %}
* 加法群：[反元素]()通常以 $${\color{orange}-a}$$ 表示，[單位元素]()通常以 $${\color{orange}\mathbf{0}}$$ 表示。
{% endhint %}

## 證明 <a href="#proof" id="proof"></a>

{% tabs %}
{% tab title="1" %}
<figure><img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FqHnZwmpCDIZax74alHij%2Fidentity_unique.png?alt=media&#x26;token=2a4d7361-5498-4701-a4c8-15678214724f" alt=""><figcaption></figcaption></figure>
{% endtab %}

{% tab title="2" %}
<figure><img src="https://487293287-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-M5-JmwIjjSzWft9bo8C%2Fuploads%2FZAoBNiQwAj2zAUKMBRJ3%2Finverse_unique.png?alt=media&#x26;token=e556c7f0-498f-4c6c-a03a-f1b37d09288c" alt=""><figcaption></figcaption></figure>
{% endtab %}

{% tab title="3" %}
因為 $$a \ast a^{-1} = a^{-1} \ast a = e$$，因此 $$a^{-1}$$ 與 $$a$$ 互為彼此的反元素。
{% endtab %}

{% tab title="4" %}
因為[群]()有「[結合律](../binary/associativity)」的關係，所以 $$(b^{-1} a^{-1})(ab) = e = (ab)(b^{-1} a^{-1})$$，因此 $$(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$$
{% endtab %}

{% tab title="5" %}
因為 $$ee = e$$，因此 $$e^{-1} = e$$。
{% endtab %}

{% tab title="📗 參考" %}
* [ ] Contemporary Abstract Algebra (2017), Ch. 2 Groups, p.43
{% endtab %}
{% endtabs %}
